一、等差數列

　　一個等差數列由兩個因素確定：首項a1和公差d。

　　得知以下任何一項，就可以確定一個等差數列(即求出數列的通項公式)：

　　1、首項a1和公差d

　　2、數列前n項和s(n)，因為s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)

　　3、任意兩項a(n)和a(m)，n，m為已知數

　　等差數列的性質：

　　1、前N項和為N的二次函數(d不為0時)

　　2、a(m)-a(n)=(m-n)*d

　　3、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)也是等差數列

　　例題1：已知a(5)=8，a(9)=16，求a(25)

　　解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8

　　a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40

　　a(25)=48

　　例題2：已知a(6)=13，a(9)=19，求a(12)

　　解：a(6)、a(9)、a(12)成等差數列

　　a(12)-a(9)=a(9)-a(6)

　　a(12)=2*a(9)-a(6)=25
 

　　二、等比數列

　　一個等比數列由兩個因素確定：首項a1和公差d。

　　得知以下任何一項，就可以確定一個等比數列(即求出數列的通項公式)：

　　1、首項a1和公比r

　　2、數列前n項和s(n)，因為s(1)=a1，s(n)-s(n-1)=a(n)

　　3、任意兩項a(n)和a(m)，n，m為已知數

　　等比數列的性質：

　　1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

　　2、正整數m、n、p為等差數列時，a(m)、a(n)、a(p)是等比數列

　　3、等比數列的連續m項和也是等比數列

　　即b(n)=a(n)+a(n+1)+。。。+a(n+m-1)構成的數列是等比數列。
 

　　三、數列的前N項和與逐項差

　　1、如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的前N項和是關于N的多項式，最高次數為P+1。(這與積分很相似)

　　2、逐項差就是數列相鄰兩項的差組成的數列。

　　如果數列的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P，則數列的逐項差的通項公式是關于N的多項式，最高次數為P-1。

　　(這與微分很相似)

　　例子：

　　1，16，81，256，625，1296 (a(n)=n^4)

　　15，65，175，369，671

　　50，110，194，302

　　60，84，108

　　24，24

　　從上例看出，四次數列經過四次逐項差后變成常數數列。

　　等比數列的逐項差還是等比數列
 

　　四、已知數列通項公式A(N)，求數列的前N項和S(N)。

　　這個問題等價于求S(N)的通項公式，而S(N)=S(N-1)+A(N)，這就成為遞推數列的問題。

　　解法是尋找一個數列B(N)，

　　使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)

　　從而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)

　　猜想B(N)的方法：把A(N)當作函數求積分，對得出的函數形式設待定系數，利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系數。
 

　　例題1：求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+。。。+N*2^N

　　解：S(N)

　　=S(N-1)+N*2^N

　　N*2^N積分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2

　　因此設B(N)=(PN+Q)*2^N

　　則 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N

　　(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N

　　因為上式是恒等式，所以P=-2，Q=2

　　B(N)=(-2N+2)*2^N

　　A(1)=2，B(1)=0

　　因此：S(N)=A(1)+B(1)-B(N)=(2N-2)*2^N+2
 

　　例題2：A(N)=N*(N+1)*(N+2)，求S(N)

　　解法1：S(N)為N的四次多項式，

　　設：S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

　　利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)

　　解出A、B、C、D、E

　　解法2：

　　S(N)/3!=C(3，3)+C(4，3)+。。。C(N+2，3)=C(N+3，4)

　　S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4